Sonsuzluğun Sınırında Yalnız Bir Adam: Cantor

“je le vois, mais je ne le crois pas”

Cantor, sonsuzların karşılaştırılmasıyla ilgili deprem yaratan ispatını yaptığında, dostu Dedekind’e tam olarak böyle yazmıştı.

“Görüyorum ama inanamıyorum!”

Dünyanın geri kalanını inandırması daha da güç olacaktı. Zira Cantor gerçekten de tehlikeli bir gerçekle uğraşıyordu.
Sonsuzlukla!

Peki bu noktaya nasıl gelmişti?

1845 yılında  St. Petersburg’da doğan bu mütevazı adam Zürih Politekniğini iyi bir dereceyle bitirdi ve ardından dönemin en saygın matematikçilerinin çalıştığı Berlin Üniversitesi’nde Matematik öğrenimini yine dereceyle tamamladı.

Üzerinde Gauss’un da çalışma yapıp yarım bıraktığı  bir trigonometrik dizi açılımının ispatını başarıyla yaparak matematik dünyasında adını duyurdu.

1871 ve 1872  yıllarında Sayı teorisiyle ilgili iki makalesi daha en saygın matematik dergilerinden Crelle’s Journal’de yayımlandı.

Her şey yolunda gidiyordu. Ve artık zamanı gelmişti…

Çocukluğundan beri ruhunu kemiren sonsuzluk mefhumunu masaya yatıracak ve onu ayakları üzerine oturtacaktı.
Yaptığı iş hiç şüphesiz bu kavramı ayakları üzerine oturtmak olacaktı, nitekim içinde yaşadığımız sonsuz zaman boşluğunda sonsuzluk kavramını ilk keşfeden kişinin Cantor olduğunu söylemek mümkün değildir. Hatta denilebilir ki matematikle biraz olsun derinlemesine ilgilenen herkes bu kavramı sezinlemiştir.

Zenon, ünlü Akhileus  paradoksu ile bize bu sonsuzluğun kapılarını açmıştı.

Yunan matematikçilerinin en büyüğü Arşimet geometrik bir yaklaşımla sonsuzluğu sezinleyenlerdendi, tüketme ilkesiyle bir çemberin içine bir kare çizmiş sonra bunu ikiye katlayarak bir sekizgen elde etmiş sonra bu katlama işini tekrar tekrar devam ettirmişti, bu tekrarların neticesinde tüm köşelerin belirginsizleşip çemberi oluşturacağını düşünüyordu.

Sonra çemberin dışına bir kare çizmiş ve bu kareyi de tekrar tekrar ikiye katladığında aynı çemberi dışarıdan elde etmesi gerektiğini fark etmişti.

Ama olmuyordu. Katlamalar çembere hem içeriden hem dışarıdan çok yaklaşıyor fakat asla ulaşamıyordu.
Arşimet bu tekrar tekrar katlama işini sonsuz kez yapmamız gerekir diye düşündü ama bunun bile çemberi oluşturabileceğine inancını kaybetmişti.

“Evet sonsuzluk var. Ama bu bizim zihnimizin ulaşabileceği sınırlarda değil.”

Bilim ve tehlike kelimeleri söylendiğinde akla ilk gelen bilim insanı şüphesiz Galileo’dur. Ve o da sonsuzluk kavramına uzak kalabilmiş değildir. “Yeni Bilim” adlı kitabında her tam sayının bir tam karesi olduğuna ve her tam karenin neticede bir tam sayının karesi olduğuna işaret etmiştir.

Yani bir bakıma ne kadar tam sayı varsa o kadar tam kare sayı vardı. Bunu açıklamak o günün matematiğinde gerçekten çok zordu.Ve Galileo tam bu noktada durdu: “Elbette böyle birşey mümkün değil.”

Dünyanın yuvarlak olması fikri de yeterince tehlikeliyken sonsuzluk kavramının peşine düşmek belki de zamansız olacaktı.

Büyük Matematikçi Gauss bile “gerçek sonsuzluk” fikrini matematiğe bütünüyle katma fikrinin kendisini dehşete düşürdüğünü söylüyordu.

Sonsuzluk Cantor’a kadar olan matematikçiler için varlığı açıkça sezilen ama uğraşılması, en azından matematiğin içine yerleştirilmesi pek de mümkün olmayan bir yerdeydi. Sonsuzluk bize en uzak yıldızın uzaklığındaydı, bilinmezliğin sınırında yaşıyordu.

Evet bilinmezlik.

Belki sonsuzluk için yapılan en güzel tanımlardan biri buydu: “Üçe kadar sayabilen toplumlar için dört sonsuzdur.”
Sonsuzluk böyle tanımlanabilir ve ona bilinmezlik denilip uzakta tutulabilirdi.
Cantor gelene kadar…

Cantor, sonsuzu en uzak yıldızdan alıp kapımızın önüne getirdi. Bunu matematikçiler sonsuzluğu çırılçıplak görmeye hazır değilken yaptı!

Sonluötesi Sayılar (Alef Sayılar)

Sonluötesi sayılar makalesinin başlangıcında İncil’den bir alıntı yapmıştı: “Sizden gizlenenler nihayetinde gün ışığına çıkarılacaktır.”

Kendisini ortaya koyduğu ve yıllarca ruhunu kemirmiş olan bu gerçeğin havarisi gibi görüyordu.

Sonluötesi sayıları tanımladı. Onun ilk sonluötesi (alef) sayısı doğal sayıların ulaşabileceği sonsuzluktu. Buna sayılabilir sayılar adını verdi.

Bu noktada daha çarpıcı bir şey yaptı. Sonsuzları karşılaştırmayı denedi.
(o güne kadar sonsuzlar hakkında herkesin uzlaşabileceği bir nokta varsa o da iki sonsuzluğun birbiri ile karşılaştırmanın mümkün olmadığı noktasıydı.)
Cantor  0-1 arasındaki tüm rasyonel sayılar ile tüm doğal sayılar arasında 1-1 ve örten bir bağıntı kurulabileceğini ispatladı. Yani 0’dan başlayıp 1’er artarak sonsuza giden tüm doğal sayıların aslında 0 ile 1 arasına sığabileceğini kanıtladı.

0-1 arasında da tüm sayı doğrusunda da  sonsuz tane sayı vardı ve bu sonsuzlar birbirine eşitti.

Kendi üzerindeki her bir aralığının kendisinin toplamı kadar büyük olduğu bir  sayı doğrusu tahayyül ediyordu.
Bu kadarı bile pek çok matematikçinin tüylerini diken diken etmeye yeterdi ama o burada durmadı.

0-1 arasındaki tüm rasyonel sayı noktalarının herhangi bir alandaki, herhangi bir hacimdeki noktaların sayısıyla eşlenebileceğini gösterdi. Yani tüm boyutlardaki nesnelerin boyut farkı olmaksızın eş noktaları taşıdıklarını, her birinin içinde aynı sonsuzluğu taşıdığını ispatladı.

William Blake’in o meşhur şiirindeki gibi yani:

“Bir kum tanesinde bir dünya görmek
Ve vahşi bir çiçekte cenneti
Sonsuzluğu avuçta tutmak
ve bir saatte nihayetsizliği
…”

Birbirine eşit iki sonsuzluk bulmaktan daha da tehlikeli bir şey yaptı sonra. Reel sayıların sonsuzluğu ile doğal sayıların sonsuzluğunu karşılaştırdı ve reel sayıların temsil ettiği sonsuzluğun daha büyük olması gerektiğini buldu.

“Bir sonsuzluğun ötesinde ondan daha büyük başka bir sonsuz vardır.”

Bu bir anlamda büyüleyici bir şeydi zira bir sonsuzluğun bir diğer sonsuzluktan büyük olması tahayyül edilmesi çok zor bir durumdu. Kendisi bile yaptığı ispata bakıp dostu Dedekind’e şöyle söylemişti:

“Görüyorum ama inanamıyorum…”

Bulduğu bu gerçeğin dünyayı kökünden değiştireceğine inanıyordu (bu bir gün mümkün olacaktı).
Ama o lanetlendi. İddiası çok sert tepkiler aldı.

Bir bakıma matematikçiler korkmakta haklıydı. Doğal sayıların güvenilir zeminine basan her adımı açık ve kesin olarak tanımlanmış matematik, bu her yanı muğlak yapıyı kabullenmekte zorlanıyordu.

Çağdaşı Kronocker onu şarlatanlıkla suçladı ve onun makalelerinin yayınlanmasına karşı olanca nüfuzunu ve gücünü kullandı. Ve Kronocker oldukça nüfuzlu adamdı.

Henri Poincaré onun için “Şu Cantor’un fikirleri matematiğin yakasına yapışmış kötü bir hastalık. Ve matematik bir gün onu da tedavi edecektir.” diyecekti.

Cantor gerçeği biliyordu ama maalesef yalnız bir adamdı. Büyük üniversitelerin güçlü ve nüfuzlu matematikçileri onu afaroz etmişti. Sonsuzluğun peşindeki hassas zihni bu baskıya dayanamadı. Dostu Dedekind’e yazdığı bir mektupta “Bunu bulduğumu asla iddia etmemeliydim,” dedi. Ve hazin bir şekilde ekledi: “Benim zarif kanıtım işte bu yıkıntıların altında yatıyor.”

Kızına, tanrısal bir sesin kendisine sürekli “Bulmalısın!” diye fısıldadığını söyleyecekti.

Uzun bir süre bir psikiyatri senatoryumunda matematikten uzak kalmaya çalışarak iyileşmeyi denedi. Bipolar bozukluğun etkisinde nöbetler geçirerek yaşamına devam etti. Bu nöbetler yaşamının sonuna kadar peşini bırakmayacaktı.

Zaman onun haklılığını ortaya koyduğunda, o çoktan bir “tımarhane”de yalnız başına ölmüş olacaktı…

İnsanlık onun kapısını açtığı sonsuzluğu, ünlü matematikçi Hilbert’in şu sözleriyle hatırlayacaktı:

“Hiç kimse bizi Cantor’un  kapısını açtığı cennetten kovamayacaktır.”

Hasan Hüseyin AKİS

Kaynakça
1) Makers of Mathematics – Stuart Hollingdale

2) Matematik : Kesinliğin Kaybı – Morris Klein

3) Matematik Dünyası – 2006 – Sayı 3

4) Ali Nesin – Sezgisel Sayılar Kuramı

5) http://ulusaltezmerkezi.com/orinyasyenlerden-gottlob-fregeye-kardinal-sayilar-ve-aritmetigin-kume-kavramiyla-temellendirilmesi-from-aurignacians-to/8/

6) Dangereous Knowledge(Tehlikeli Bilgi)- BBC Belgesel